7. Hypothesis Testing

$$\huge\textbf{Hypothesis Testing} $$

1. 假设检验概述

1.1. 基本概念

  1. 原假设 (Null Hypothesis) $H_0$: $\mu = \mu_0$

  2. 备择假设(Alternative Hypothesis)$H_1$$\mu \not= \mu_0$

  3. 显著性水平(Significance Level)$\alpha$:小概率水平

  4. 确定假设的界限 $\mathcal{K}$

  5. 假设检验的拒绝域 $\mathscr{D} \subseteq \mathbb{X}^n$

1.2. 两种错误

1. 第一类错误
2. 第二类错误

1.3. 显著性水平与p值

1. 使用p值进行假设检验的基本法则是:

​ 若 $p$ 值小于 $\alpha $ , 则拒绝 $H_0$,否则就不拒绝 $H_0$ ($\alpha$ 决定是否显著,$p$ 表现有多显著)

$p$ 值越小,则认为拒绝原假设的理由越充分

1.4. 单边与双边检验

1. 双边(Two-Tail)检验
$$H_0:\mu=\mu_0,\ H_1:\mu=\mu_1 $$
2. 单边(One-Tail)假设
$$H_0:\mu\leq\mu_0,\ H_1:\mu>\mu_0 $$

1.5. 基本步骤

  1. 建立原假设和备选假设,选择合适的 $p$

  2. 对总体抽样,获取总体样本值

  3. 选取统计量(其抽样分布要明确,不含参数)

  4. 分两种(或同时)方法进行决策判断

​ <1> 利用 $\alpha$ 决定什么是拒绝域

​ <2> 利用样本数据计算 $p$ 值,将其与 $\alpha$ 比较

2. 参数假设检验

(先假定分布形式,再来估计参数)

2.1. Z 检验 (大样本或方差已知)

  1. 建立有关均值的备择假设和原假设,选择合适的显著性水平 $\alpha$

  2. 建立统计量 $Z\sim \mathbb{N}(0,\ 1)$,计算统计量数值 $z$

  3. 根据统计量数值和显著性水平 $\alpha$ 决定拒绝域

  4. 判断是否落入拒绝域,有需要的话再考察 $p$

2.2. t 检验 (小样本且 $\sigma^2$ 未知)

  1. 建立有关均值的备择假设和原假设,选择合适的显著性水平 $\alpha$

  2. 建立统计量 $t\sim t(n')$,计算统计量数值 $t$

  3. 根据统计量数值和显著性水平 $\alpha$ 决定拒绝域

  4. 判断是否落入拒绝域,有需要的话再考察 $p$

2.3. $\chi^2$检验 (判断方差变化是否显著)

  1. 建立有关均值的备择假设和原假设,选择合适的显著性水平 $\alpha$

  2. 建立统计量 $\chi^2\sim \chi^2(n')$,计算统计量数值 $\chi^2$

  3. 根据统计量数值和显著性水平 $\alpha$ 决定拒绝域

  4. 判断是否落入拒绝域,有需要的话再考察 $p$

2.4. F检验 (判断方差比变化是否显著)

  1. 建立有关均值的备择假设和原假设,选择合适的显著性水平 $\alpha$

  2. 建立统计量 $F\sim F(n_1,\ n_2)$,计算统计量数值 $F$

  3. 根据统计量数值和显著性水平 $\alpha$ 决定拒绝域

  4. 判断是否落入拒绝域,有需要的话再考察 $p$

3. 非参数假设检验(对总体分布形式未知)

3.1. 符号检验(Sign Test)

3.2. 秩和检验(Wilcoxon Rank-Sum)

1. 秩(Rank)指的是两组数据混合排序后的序号均值
定理7.1:大样本逼近

当两样本容量较大时(经验要求 $n_1$, $n_2 > 10$ ),秩和统计检验量 $T$ 近似服从 $\mathbb{N}(\mu,\sigma^2)$,其中:

$$\mu=\frac{n_1(n_1+n_2+1)}{2}\\ \sigma^2=\frac{n_1n_2(n_1+n_2+1)}{12} $$

则:

$$U=\frac{T-\mu}{\sigma}\sim\mathbb{N}(0,\ 1) $$

所以秩和检验的拒绝域为 $|U|>z_{\frac{\alpha}{2}}$

3.3. 偏度峰度检验

1. 偏度与峰度

偏度:

$$\nu_1\triangleq\frac{E((X-E(X))^3)}{(Var(X))^{\frac{3}{2}}}=E[(\frac{X-E(X)}{\sqrt{Var(X)}})^{3}]\\ $$

峰度:

$$\nu_1\triangleq\frac{E((X-E(X))^4)}{(Var(X))^{2}}=E[(\frac{X-E(X)}{\sqrt{Var(X)}})^{4}]\\ $$

3.4. $\chi^{2}$拟合优度检验

定理7.2:$\text{Pearson}$ 定理

3.5. $\chi^{2}$独立性检验