7. Hypothesis Testing

$$\huge\textbf{Hypothesis Testing} $$

1. 假设检验概述

1.1. 基本概念

1. 原假设 (Null Hypothesis) $H_0$: $\mu = \mu_0$

2. 备择假设（Alternative Hypothesis）$H_1$：$\mu \not= \mu_0$

3. 显著性水平（Significance Level）$\alpha$：小概率水平

4. 确定假设的界限 $\mathcal{K}$

5. 假设检验的拒绝域 $\mathscr{D} \subseteq \mathbb{X}^n$

1.2. 两种错误

1. 第一类错误

2. 第二类错误

1.3. 显著性水平与p值

1. 使用p值进行假设检验的基本法则是：

​ 若 $p$ 值小于 $\alpha $ , 则拒绝 $H_0$，否则就不拒绝 $H_0$ ($\alpha$ 决定是否显著，$p$ 表现有多显著)

​ $p$ 值越小，则认为拒绝原假设的理由越充分

1.4. 单边与双边检验

1. 双边（Two-Tail）检验

$$H_0:\mu=\mu_0,\ H_1:\mu=\mu_1 $$

2. 单边（One-Tail）假设

$$H_0:\mu\leq\mu_0,\ H_1:\mu>\mu_0 $$

1.5. 基本步骤

1. 建立原假设和备选假设，选择合适的 $p$ 值

2. 对总体抽样，获取总体样本值

3. 选取统计量（其抽样分布要明确，不含参数）

4. 分两种（或同时）方法进行决策判断

​ <1> 利用 $\alpha$ 决定什么是拒绝域

​ <2> 利用样本数据计算 $p$ 值，将其与 $\alpha$ 比较

2. 参数假设检验

(先假定分布形式，再来估计参数)

2.1. Z 检验 (大样本或方差已知)

1. 建立有关均值的备择假设和原假设，选择合适的显著性水平 $\alpha$

2. 建立统计量 $Z\sim \mathbb{N}(0,\ 1)$，计算统计量数值 $z$

3. 根据统计量数值和显著性水平 $\alpha$ 决定拒绝域

4. 判断是否落入拒绝域，有需要的话再考察 $p$ 值

2.2. t 检验 (小样本且 $\sigma^2$ 未知)

1. 建立有关均值的备择假设和原假设，选择合适的显著性水平 $\alpha$

2. 建立统计量 $t\sim t(n')$，计算统计量数值 $t$

3. 根据统计量数值和显著性水平 $\alpha$ 决定拒绝域

4. 判断是否落入拒绝域，有需要的话再考察 $p$ 值

2.3. $\chi^2$检验 (判断方差变化是否显著)

1. 建立有关均值的备择假设和原假设，选择合适的显著性水平 $\alpha$

2. 建立统计量 $\chi^2\sim \chi^2(n')$，计算统计量数值 $\chi^2$

3. 根据统计量数值和显著性水平 $\alpha$ 决定拒绝域

4. 判断是否落入拒绝域，有需要的话再考察 $p$ 值

2.4. F检验 (判断方差比变化是否显著)

1. 建立有关均值的备择假设和原假设，选择合适的显著性水平 $\alpha$

2. 建立统计量 $F\sim F(n_1,\ n_2)$，计算统计量数值 $F$

3. 根据统计量数值和显著性水平 $\alpha$ 决定拒绝域

4. 判断是否落入拒绝域，有需要的话再考察 $p$ 值

3. 非参数假设检验（对总体分布形式未知）

3.1. 符号检验（Sign Test）

3.2. 秩和检验（Wilcoxon Rank-Sum）

1. 秩（Rank）指的是两组数据混合排序后的序号均值

定理7.1：大样本逼近

当两样本容量较大时（经验要求 $n_1$, $n_2 > 10$ ），秩和统计检验量 $T$ 近似服从 $\mathbb{N}(\mu,\sigma^2)$，其中：

$$\mu=\frac{n_1(n_1+n_2+1)}{2}\\ \sigma^2=\frac{n_1n_2(n_1+n_2+1)}{12} $$

则：

$$U=\frac{T-\mu}{\sigma}\sim\mathbb{N}(0,\ 1) $$

所以秩和检验的拒绝域为 $|U|>z_{\frac{\alpha}{2}}$

3.3. 偏度峰度检验

1. 偏度与峰度

偏度：

$$\nu_1\triangleq\frac{E((X-E(X))^3)}{(Var(X))^{\frac{3}{2}}}=E[(\frac{X-E(X)}{\sqrt{Var(X)}})^{3}]\\ $$

峰度：

$$\nu_1\triangleq\frac{E((X-E(X))^4)}{(Var(X))^{2}}=E[(\frac{X-E(X)}{\sqrt{Var(X)}})^{4}]\\ $$

3.4. $\chi^{2}$拟合优度检验

定理7.2：$\text{Pearson}$ 定理

3.5. $\chi^{2}$独立性检验